开关电源的小信号模型和环路原理

S导通时，对电感列状态方程有L(dil/dt)=Uin-Uo(1)

S断开，D1续流导通时，状态方程变为L(dil/dt)=-Uo(2)

占空比为D时，一个开关周期过程中，式(1)及式(2)分别持续了DTs和(1-D)Ts的时间(Ts为开关周期)，因此，一个周期内电感的平均状态方程为L(dil/dt)=D(Uin-Uo)+(1-D)(-Uo)=DUin-Uo(3)

稳态时=0，则DUin=Uo。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D和输入电压Uin成正比。

由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式(3)得L[d(il+il')/dt]=(D+d)(Uin+Uin')-(Uo+Uo')(4)

式(4)由式(3)的稳态值加小信号波动值形成。上标为波浪符的量为波动量，d为D的波动量。式(4)减式(3)并略去了两个波动量的乘积项得

L(dil'/dt)=DUin'+dUin-Uo'(5)

由图1，又有iL=C(duc/dt)+Uo/R0(6)

Uo=Uc+ReC(duc/dt)(7)

式(6)及式(7)不论电路工作在哪种状态均成立。由式(6)及式(7)可得iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo+CRo(duo/dt))(8)

式(8)的推导中假设Re

式(9)减式(8)得iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo+CRo(dUo/dt))(10)

将式(10)进行拉氏变换得iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1+sCRo)/(1+sCRe)](11)

(s)=(11)一般认为在开关频率的频带范围内输入电压是恒定的，即可假设=0并将其代入式(5)，将式(5)进行拉氏变换得

sLiL'(s)=d(s)Uin-Uo'(s)(12)

由式(11)，式(12)得Uo'(s)/d(s)=Uin[(1+sCRe)/(s2LC+s(ReC+L/Ro)+1](13)

iL'(s)/d(s)=[(1+sCRo)/s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]·Uin/Ro(14)

式(13)，式(14)便为Buck电路在电感电流持续时的控制-输出小信号传递函数。

电压模式控制(VMC)

电压模式控制方法仅采用单电压环进行校正，比较简单，容易实现，可以满足大多数情况下的性能要求，如图2所示。

图2中，当电压误差放大器(E/A)增益较低、带宽很窄时，Vc波形近似直流电平，并有D=Vc/Vs(15)、d=Vc'/Vs(16)

式(16)为式(15)的小信号波动方程。整个电路的环路结构如图3所示。图3没有考虑输入电压的变化，即假设Uin=0。图3中，(一般为0)及分别为电压给定与电压输出的小信号波动;KFB=UREF/Uo，为反馈系数;误差e为输出采样值偏离稳态点的波动值，经电压误差放大器KEA放大后，得KMOD为脉冲宽度调制器增益，KMOD=d/=1/Vs;KpWR为主电路增益，KpWR=/d=Uin;KLC为输出滤波器传递函数，KLC=(1+sCRe)/[S2LC+s(ReC+L/Ro)+1]。

在已知环路其他部分的传递函数表达式后，即可设计电压误差放大器了。由于KLC供应了一个零点和两个谐振极点，因此，一般将E/A设计成pI调节器即可，KEA=Kp(1+ωz/s)。其中ωz用于消除稳态误差，一般取为KLC零极点的1/10以下;Kp用于使剪切频率处的开环增益以-20dB/十倍频穿越0dB线，相角裕量略小于90°。

VMC方法有以下缺点：

1)没有可预测输入电压影响的电压前馈机制，对瞬变的输入电压响应较慢，要很高的环路增益;

2)对由L和C出现的二阶极点(出现180°的相移)没有构成补偿，动态响应较慢。

VMC的缺点可用下面将要介绍的CMC方法克服。

平均电流模式控制(AverageCMC)

平均电流模式控制含有电压外环和电流内环两个环路，如图4所示。电压环供应电感电流的给定，电流环采用误差放大器对送入的电感电流给定(Vcv)和反馈信号(iLRs)之差进行比较、放大，得到的误差放大器输出Vc再和三角波Vs进行比较，最后即得控制占空比的开关信号。图4中Rs为采样电阻。关于一个设计良好的电流误差放大器，Vc不会是一个直流量，当开关导通时，电感电流上升，会导致Vc下降;开关关断，电感电流下降时，会导致Vc上升。电流环的设计原则是，不能使Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，两者斜率相等时就是最优。原因是：假如Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，会导致Vc峰值超过Vs的峰值，在下个周波时Vc和Vs就可能不会相交，造成次谐波振荡。

采用斜坡匹配的方法进行最优设计后，pWM控制器的增益会随占空比D的变化而变，如图5所示。

当D很大时，较小的Vc会引起D较大的改变，而D较小时，即使Vc变化很大，D的改变也不大，即增益下降。所以有d=DV'/Vs(17)

不妨设电压环带宽远低于电流环，则在分析电流环时Vcv为常数。当Vc的上升斜率等于三角波斜率时，在开关频率fs处，电流误差放大器的增益GCA为GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs(18)、GCA=Vc'/(iL'Rs)=VsfsL/(UoRs)(19)

高频下，将式(14)分子中的“1”和分母中的低阶项忽略，并化简，得iL'(s)=[d(s)Uin]/sL(20)

由式(17)及式(20)有(iL'Rs)/Vc'=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs)(21)

将式(19)与式(21)相乘，得整个电流环的开环传递函数为(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s(22)

将s=2πfc代入上式，并令上式等于1时，可得环路的剪切频率fc=fs/(2π)。因此，可将电流环等效为延时时间常数为一个开关周期的纯惯性环节，如图6所示。显然，当电流误差放大器的增益GCA小于最优值时，电流响应的延时将会更长。

GCA中一般要在fs处或更高频处形成一个高频极点，以使fs以后的电流环开环增益以-40dB/dec的斜率下降，这样虽然使相角裕量稍变小，但可以消除电流反馈波形上的高频毛刺的影响，提高电流环的抗干扰能力。低频下一般要加一个零点，使电流环开环增益变大，减小稳态误差。

峰值电流模式控制(peakCMC)

平均CMC由于要采样滤波电感的电流，有时显得不太方便，因此，实践中经常采用一种变通的电流模式控制方法，即峰值CMC，如图8所示。电压外环输出控制量(Vc)和由电感电流上升沿形成的斜坡波形(Vs)通过电压比较器进行比较后，直接得到开关管的关断信号(开通信号由时钟自动给出)，因此，电压环的输出控制量是电感电流的峰值给定量，由电感电流峰值控制占空比。

峰值CMC控制的是电感电流的峰值，而不是电感电流(经滤波后即负载电流)，而峰值电流和平均电流之间存在误差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般满载时电感电流在导通期间的电流增量设计为额定电流的10%左右，因此，最好情况下峰值电感电流和平均值之间的误差也有5%，负载越轻误差越大，特别是进入不持续电流(DCM)工作区后误差将超过100%，系统有时可能会出现振荡现象。在剪切频率fc以下，由图6可知平均CMC的电流环开环增益可升到很高(可以>1000)，电流可完全得到控制，但峰值CMC的电流环开环增益只能保持在10以内不变(峰值电流和平均值之间的误差引起)，因此，峰值CMC更适用于满载场合。

峰值CMC的缺点还包括对噪音敏感，要进行斜坡补偿解决次谐波振荡等问题。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的优点，且容易通过脉冲电流互感器等简单办法复现电感电流峰值，因此，它在Buck电路中仍然得到了广泛应用。

结语

采用平均状态方程的方法可以得到Buck电路的小信号频域模型，并可依此进行环路设计。电压模式控制、平均电流模式控制和峰值电流模式控制方法均可用来进行环路设计，各有其优缺点，适用的范围也不尽相同。